Идея    зеркального  преобразования    мира    давно     увлекала  мыслителей.  Готфрид Вильгельм Лейбниц   много   думал  о  том,  что  бы случилось,  если   бы  вся  наша Вселенная     вдруг  отразилась   в   некоем     сверхзеркалье.  В  конце  концов   он пришел  в  выводу, что  ничего   в нем  не  изменялось  бы. Еще  до  1957г. (до работ американских  физиков    Ли  и   Янга) современным    ученым   нечего   была    возразить  великому    немецкому    математику  и  куда    менее   великому   философу. Иммануил    Кант,    великий  немецкий   философ и  совсем  уж  незадачливый  физик (хотя    он и    преподавал   эту   науку), тоже     интересовался    зеркальными  отражениями. В     своем   знаменитом      труде    «Пролегомены   будущей     метафизики»   он   писал: «Что   может    быть    больше    похоже   на   мою  руку   или   мое  ухо.  чем   их   собственное   отражение   в   зеркале?  И   все  же   руку,    которую   я    найду в    зеркале,   нельзя     поставить   на  место   настоящей    руки_».  «Разумеется —сказал  бы  современный    нам  ученый,   который    отвык     удивляться    подобным   пустякам.— ведь  они   энантиморфы». Если   вам   встретится   это  ученое  слово,   знайте,   автор   хотел    сказать     «зеркально     симметричный». Любые    два    энантиморфа    различают,     называя    один    «левым»,  а   другой      «правым».    Ботинки,      перчатки,     левый   и      правый     винт    и    даже     целые        автомобили (правый и левый руль)  все    это    энантиморфы. И    энантиморфы    два      листа     Мебиуса,    закрученные   в   разные    стороны — ведь,      склеивая      полоску,     вы     вольны     сделать     оборот     по     и     против          часовой              стрелки (см. рис 1)
   Лист   Мебиуса,  выдумка   кабинетных    ученых,     забавная   безделушка,     вдохновляющая     факиров  и    изобретателей,    влек  и   космологов.  Одна   из   «моделей   нашей       Вселенной — это    трехмерный     лист     Мебиуса.     Астронавт,    проделав    там    головокружительный    путь   вдоль    такого    космоса,   вернется   домой   зеркально      отраженным—с   сердцем        справа—так   же,  как    Готфрид     Платтнер        из      уэллсовского      фантастического      рассказа. (И в нашей  реальной   земной жизни      встречаются,    хотя  и    крайне   редко,   люди, у    которых      сердце     справа.    Уж    не    пришельцы     или,     точнее,  не   ушельцы    ли   это? Но     способно     ли   наше    бедное      воображение        справиться         с       трехмерным           мебиусом?
Оказывается,    да. Возьмите    трубу,       вытяните   у   нее    один      край     и    просуньте    этот      тонкий      конец    в    специально     сделанную      для     него  дырку  в     толстом       конце .  Теперь        склейте     концы.       Вы     создали   так     называемую         «бутылку      Клейна» (еще одно великое имя— Феликс    Клейн. немецкий     математик,     почти       наш   современник—   он      умер  в    1925 году). Вот     она       уже     на    рис  3 — тут    уж    отчетливо    видно,    что    в   эту    одностороннюю   посуду    тем  не    менее    можно     налить    вино. Вот     еще    один    математический      факт — в    четырехмерном    пространстве     можно     построить   такую    бутылку  Клейна, что   она   не   будет   пересекать     сама     себя    (лист    Мебиуса   тоже,   если    делать       его     ленте     все  шире и   шире, рано  или      поздно     неизбежно     «самопересечется».,   но,  как      мы     видели,     может       жить     и      без   этого:    бутылка   же      Клейна           в   нашем      пространстве     без     самопересечения    никак   не   получается — попробуйте, убедитесь).
И   так,    космологическая      модель.     Какие      противоречия      существующих    теорий     разрешает    пространственный    мебиус—замкнутый,     безграничный,      бесконечный  (как   Вселенная    Эйнштейна  ),   но       вдобавок       односторонний.

Необходимо      вернуться    к   безусловно    доказанным    фактам  и  вспомнить   что   есть   Левый   и    Правый  Мебиусы!
А  чем,    собственно,    они  отличны     друг  от  друга?  Что    дает   нам   право   с  уверенностью     называть    одни     энантиморф   «левым». а  другой «правым»? Именно    этот   вопрос    волновал    Иммануила   Канта. Ему    виделась    страшная  кар¬тина. В совершенно    пустом   космосе появляется    рука. Правая или левая? Сказать    невозможно,    ибо   нет ничего, с    чем бы ее     можно было сопоставить. Но вот  рядом с нею        материализуется человек, руки   которого   обрублены по запястье. Рука, разумеется,  подойдет  лишь к одному запястью — правому,   например. Значит, она и     есть правая. Но тогда получается,    что рука была    правой     все время, еще     до того, как рядом   с      ней   материализовался      воображаемый      инвалид?!    В чем   же   тогда   инвалидность     рассуждении    Канта?
Бедные,   затрепанные    нами    двумерцы     помогут и   тут.   Вырезанного   из    бумаги человека   мы    можем  положить    на   стол  рядом с вырезанной   из бумаги же рукой  и так, и по-другому— перевернув «наизнанку».  И  тогда   рука подойдет  в    первый   раз  к   его    правому,  а во второй — к   левому   запястью. Значит,    она  не  была ни  правой, ни левой — просто  человек   может     явиться   в     свою   двумерную     Плосколяндию       из    нашего    трехмерного    мира   в   двух      энантиморфных      модификациях — либо   сам  собой,  либо в   зеркальном  отражении.  И   точно   так   же   любой   трехмерный    предмет     может  быть   «вывернут» в   пространстве    высшей    размерности. Это   первым     понял   через   восемьдесят    лет   nocле    того,     как    Кант    высказал    свои    недоумения      Август  Фердинанд    Мебиус! (Свой   уже   заранее     перекрученный   лист,   который     позволяет     вывернуть  лежащие  в   нем предметы и    без     повышения      порядка     пространства,     он    описал    лишь   спустя   двадцать лет.)
Известный     американский    популяризатор    науки    Мартин      Гарднер      написал   книгу,    которую      издательство   «Мир»  выпустило  под заглавием   «Этот левый,    правый мир».  Там   есть   эпизод,    заимствованный из     комикса. Пещерный  человек   радуется    своему   новому   изобретению — барабану. Он  ударяет по нему   палкой и говорит: «Это левая дробь», а  затем   берет палку   в   другую   руку и говорит: «Это правая дробью. И  на     вопрос    «откуда ты знаешь?»     отвечает,     что    у него   на одной   из    ладоней   есть  родинка.  Таким   образом,   получается,   что   все  дело  только  в   названии:  хочу — назову   так,  хочу — наоборот.   И  ничто   не    изменится.   Прав  Лейбниц: отрази    мир    в зеркале — никто  и не  заметит. Вроде бы  так.
Так? Да вот не так! Иначе   Ли и Янгу  не быть  бы    нобелевскими    лауреатами,  а   нам  бы   не   разувериться   в    симметричности    Вселенной.
В 1956    году  в  Национальное    бюро   стандартов    США    обратилась    профессор    Колумбийского   университета    By Цзянь-сюн. Она    просила   дать  ей    возможность     воспользоваться     криогенной     установкой,    чтобы    охладить    радиоактиный    изотоп   кобальта — кобальт-60 — до очень низкой      температуры,    почти    до   абсолютного   ну¬ля. Это   было   необходимо    ей,    чтобы     свести   к   минимуму    тепловое   движение   его  молекул, а   затем,   наложив      мощное    электромагнитное    поле,   суметь    выстроить     ядра   так, чтобы   они   были    направлены     одноименными    полюсами   в      одинаковую     сторону. (Ядро     ведь    вращается    вокруг    своей      оси:    если  смотреть  с одного  конца    ее,  то    по    часовой    стрелке,  а  с    другого —    против    часовой     стрелки.    Значит,   у      него    есть    верх    и    низ,  северный    и    южный      полюса,   или, что то же самое,    право  и  лево.) А  дальше  профессор  By   всего  лишь хотела    посмотреть,    одинаковое    ли   число  электронов   будет   вылетать   из   северного и    южного   полюсов   при    распаде. «Я  не  верю,   что  Бог    окажется   левшой,   и готов    побиться    об    заклад   на  весьма     большую    сумму,    что    эксперимент      даст        симметричный     результат!» — писал        крупнейший         физик-теоретик   Вольфганг       Паули,     с нетерпением     ожидая, что  же   получится у By. Паули    проиграл    свою      весьма        большую     сумму.  Но   несравненно           больше           проиграли     представления   физиков     о    природе — закон      четности    нарушился,    опыт    дал    н е с и ч м е т р и ч н ы й        результат — из   южного     конца     ядра    кобальта-60     вылетает    намного    больше   электронов,  чем   из  северного.
Это значит,  что   мир  наш   все-таки   несимметричен! За   такое   открытие   не грех   было   присудить    Нобелевскую   премию. И ее получи-ли в 1957 году   Ли Чжэн-дао и   Янг Жэнь-пин — молодые   американские ученые. Они, а  не   их    соотечественница By Цзянь-сюн,   потому   что   идея   эксперимента  была    предложена   именно   ими — из   чисто   теоретических    и даже   скорее математических,   нежели   физических   соображении. Они первые придумали,   как заставить   природу   ответить на вопрос:    равноправно    ли в  ней  левое  и  правое,  верх  и  низ? До   них   никто не советовал   физикам-экспери¬ментаторам     тратить   время и силы   на   подобные опыты — все   были   уверены, что  закон сохранения  четности  незыблем. Иными   словами,      любое      направление    в    природе    равноправно     и   если    в формуле,    включающей     в себя   все    три   координаты   точки,    поменять   все    знаки    координат  на обратные, то  она   останется справедливой. И   вот  опыт   By показал,  что эта  самоочевидность    была   всего   лишь    самоубеждением.
И тогда   задним    числом    стали    вспоминать,   что   задолго   до   Ли  и  Янга    ученые   покушались   на    закон    сохранения   четности.
Знаменитый  немецкий  математик  Герман  Вейль — знаменитый  своими  глубокими  и неожиданными  идеями — в  1929 году высказал гипотезу о том,  что   вращающаяся   частица  может   быть  в   одной   из  двух  зеркально    сопряженных  форм — обладать   левой или правой   спиральностью. То   есть,  откуда  бы   не  смотрел на   нее наблюдатель — с   «носа» или  «со спины» — он  видит  ее  вращающейся   вдоль    линии   своего  движения    либо   по правому,    либо   по левому   винту.  Вейль   отнюдь   не   был   физиком  (и тем более физиком-ядерщиком), и у   него не  было  никаких   опытных   данных    для    такой  необычной гипотезы. Он  просто   построил   изящную   математическую   теорию. Но в  то время   никто   не отнесся  к ней  всерьез,   потому   что она  не   согласовывалась    с    законом   сохранения   четности  и   требовала    от   природы   асимметричности. Вейль  не дожил  всего  двух   лет до   того   дня, как закон  этот   был   опровергнут   и   его    теория   получила   титул   пророческой. В   самом   деле, из нее   следовало,   что   у     вращающейся     частицы    должен    быть    зеркальный     двойник —    и   его   нашли!
В 1957 году почти одновременно физики в разных странах (у нас это был академик Лев Давидович Ландау) предложили так называемую  «двухкомпонентную    теорию      нейтрино»,    согласно   которой   должно    существовать    антинейтрино —   частица,    во   всем   ему подобная, но только    закрученная   вдоль    своей    траектории   в     противоположную    сторону. Потом    оказалось,   что существуют   разные   типы    пар   нейтрино-антинейтрино,    выяснилось   немало   любопытнейших   подробностей.   «Связь   между   математикой,   естественными     науками и   философией    нигде так не сильна, как в проблеме   пространства», — говорил Герман Вейль. И в самом деле — слова пророка! Всего  лишь  геометрическое, чисто пространственное,    отличие    превращает      частицу      микромира    в    свой  антипод. А    если   уж и микромир так   сильно  зависит   от  пространственной    конфигурации,   то и   вся Вселенная   в   целом — объект   изучения  геометрии.  Да,   но  почему   «и микромир»? А потому, что  о  связи   с    геометрией    макромира — от молекул     до  галактик   и    Вселенной — было   известно  и  раньше.  Недаром     решительный     эксперимент     состоял     в   том,  чтобы     превратить   правую    винную   кислоту в  левую. Кислота   эта   явилась    причиной   первого   крупного   успеха  великого французского   ученого   Луи   Пастера: «Я   только   что  сделал   гигантское открытие! Я так   счастлив,   что меня   бросает в дрожь, я   больше не  могу  спокойно   смотреть на  поляриметр!» — с  такими   словами    выскочил он    из    своей лаборатории,   когда  убедился, что   кристаллы    винной     кислоты    могут     быть в    двух    энантиморфных    видах. И  если    под   микроскопом  отделить  левые    кристаллы    от   правых  и     составить     потом    два   раствора,   то    один из    них     будет    вращать    плоскость    поляризации    света  влево, а другой — вправо. Но даже самый тонкий химический   анализ   не   поможет   отличить   один   раствор   от   другого.
Неудивительно,  что     асимметричные молекулы на долгие годы  увлекли  Пастера. Через  десять  лет  он придумал новый  способ   разделять  кристаллы — оказалось,   что     плесень      разрушает      молекулы     винной    кислоты     лишь      одного   из    двух    возможных    типов    и   оставляет     зеркальных    двойников    нетронутыми.    «Асимметричный   живой    организм, — писал он, — выбирает  для питания именно ту форму винной кислоты, которая  отвечает   его   требованиям   и,    несомненно,    соответствует    какой-то   собственной    внутренней    асимметрии!» Пастер  был убежден ( тут он не ошибся), что в  живых организмах    можно    обнаружить   вещества,  состоящие   из  асимметричных   молекул   только  одного   вида. Это  и   была, по  его  мысли, «...единственная  четко   установленная    демаркационная   линия,    которую    можно   в    настоящее   время    провести   между   химией      живой    материи и   химией     неживого». Он   верил, что  стоит лишь    узнать способ,  которым    природа  ввела асимметрию   в   органические  соединения. — и  до  разгадки     тайны      жизни    останется   один  шаг.
Так    это   или   нет, но  ведь  факт, что   аминокислоты   всех  природных    белков — всегда    левые, а могли бы  с  тем же успехом быть и правыми!   В    каждой    живой    клетке   на    нашей планете — правые    спирали    нуклеиновой кислоты. И снова — выбор   из двух возможных зеркальных форм. Нуклеиновые    кислоты — носители   жизни — тоже    родились    благодаря    право-левой     асимметрии:  все   они   «левые»,     а      их спирали — всегда «правые». Так   ли    уж    неправ   Пастер,    утверждая,    что    тут, в    геометрических    глубинах    строения материи,    и   запрятан   ключ к   тайнам    жизни?
Не только в спирали всем известной ДНК — на    каждом    шагу    геометрия    молекул    напоминает    нам  о себе. Лишь   правизна  отличает  искусственно    созданное  в  лаборатории    вещество    декстроникотин («декстра» и значит по латыни «правый»)  от   левоникотина,   который    входит  в   состав  любого  табака. Но про первый  медики  не говорят    худого слова, а, второй — чуть ли не враг номер один современного человека (во всяком случае  по раковым болезням    курильщики   уверенно лидируют). Мы   жить не можем   без    витамина   С — наступает цинга.  Но   точно   такое  же  вещество, с   одной  лишь   разницей — молекулы     его    зеркально    отражены, — не оказывает  на человеческий  организм    вообще   никакого  влияния. А     ведь      химически     они     неразличимы.
Форма,    геометрические    свойства играют в    нашем    мире   удивительную роль. В нем    царит   таинственная    асимметрия,   а вовсе   не   прозрачная    симметрия, и      потому     идея   Вселенной    в виде    трехмерного    листа    Мебиуса   имеет     кое-какие   шансы    оказаться   жизненной.   И не так  уж   она   несовместима  с   куда   более   привычной   шарообразной   Вселенной.  В доказательство   последней   мысли   проделайте   простой, но прелюбопытный опыт. Погрузите    окружность     из    мягкой    проволоки   в    мыльный раствор. На    нее    сразу   же     натянется    круг   из пленки. (Это   будет,   кстати,   так называемая   минимальная   поверхность,   то   есть     поверхность    минимальной    площади,    которая    может    быть «надета» на   данный  каркас. Поверхности   эти   используют    в    технике,     потому    что    они    обладают   наибольшей   возможной  жесткостью.) Начните     постепенно    его    деформировать  (для этого заранее    припаяйте    к    проволочной    окружности    две   ручки). И что   же? Можно,    оказывается, перевести   двустороннюю    мембрану   в   односторонний    лист   Мебиуса (рис. 5)!  Поразительное явление" А    теперь   на  секунду  перенеситесь    мыслью   в    пространство    трех,   а    то   и    четырех    измерений:   что   за   превращения    возможны там?   Не     переходит   ли    «минимальная»   сфера     в    «минимальный»       пространственный   мебиус?      Или    это   уж   совсем    абсурдная    мысль? Подумайте.
И заодно   подумайте     еще вот   о чем. В  каком   же    мире   мы все-таки   с вами живем? Сколько в нем измерений? Конечен ли    он?   Имеет  ли   границы?
Разумеется,   вы   вправе   создать  свою  собственную   теорию. Но   постарайтесь, чтобы факты, известные сегодняшней науке, уложились в нее. А факты   эти, например,   такие.
Все   тела    притягиваются    друг   к   другу. С   силой,    пропорциональной .    произведению   их   масс   и   обратно   пропорциональной   расстоянию   между ними. Это   закон,    открытый Ньютоном.
Оставим   пока   в покое    массы.   Итак,   гравитационное    взаимодействие    убывает  с расстоянием, и зависимость  эта   квадратичная. Но то же самое   происходит   и  с магнитными,  и  с электростатическими   силами. И   свет, и     радиация       распространяются   по   этому   же   закону: интенсивность  падает  как   квадрат    расстояния    от   источника. Так  может   быть   только   в  трехмерном   пространстве. Ведь воздействие  передается   во   все  стороны   равномерно,   по    все   расширяющимся    сферам  (см. рис. 6),    площадь    которых,   как известно,  равна  4nR2. Но  если бы пространство   было, например,   четырехмерным,    то     вместо      квадрата   в  формулах    физики    фигурировал    бы    куб. Мало  того,  планеты  не  вращались    бы  вокруг   Солнца   по     замкнутым    траекториям,   но  двигались     бы  по  спирали — либо    приближаясь,  либо  удаляясь  от него. Ясно, что и в  том, и в    другом    случае    жизнь    во Вселенной   была  бы   невозможна.
Теперь    оставим    в    покое    расстояние    между    телами    и   подумаем   об   их  массе. Если   Вселенная   бесконечна  и  материя    распределена   в ней     равномерно,  то   в любой     ее     точке    сила     тяготения  должна    быть    бесконечно   большой. Но  это означает,   что ни одна планета не могла бы   существовать — этот материальный   остров   в море    пространства    был    бы растянут   силами гравитации.  Значит... значит. Вселенная не бесконечна?   Но что же тогда» за ее краем?
Альберт   Эйнштейн    нашел    выход   из   этого логического тупика.   Вселенная   хотя    и   конечна, но   безгранична! С ней как раз все в порядке. Беда  в   нас   самих — в   нашей   слепой   приверженности   к  геометрии Евклида. Мы   уверены,   что параллельные   линии  не  пересекаются, что кратчайшее   расстояние   между   двумя    точками — прямая. Но   ведь    этого    никто  и  никогда    не доказал. Мало   того, все мы знаем, что  это  вовсе не так. Чтобы  сократить  дорогу  от Москвы  до Владивостока,   летчик  поведет   самолет  не    прямо по компасу,  а  по  дуге   большого   круга  Земли — так называемой геодезической линии. Если нарисовать   на   земной   поверхности   огромный    круг,    то   отношение  его  диаметра  к   длине   окружности   будет   меньше  п.  Все  это  из-за  кривизны  нашей  планеты — из-за  того, что она  не плоская.  Параллельные  линии  дуги   большого  круга — пересекаются. И   узнали  мы об  этом  задолго  до  космических  полетов,  людям    не    пришлось    глядеть   на   свою   планету   извне,   чтобы   понять,  какой  она  формы. Так  А.  Эйнштейн, размышляя    над   известными    астрономическими         фактами,    пришел к    мысли,    что   наша     Вселенная     искривляется    и    в   математическом     смысле   эквивалентна         четырехмерной     сфере.
«Достоевский  дает   мне  больше, чем любой мыслитель...» — говорил Эйнштейн. «Пусть даже    параллельные линии  сойдутся  и я  это  сам  увижу: увижу и скажу,   что   сошлись,   а   все-таки   не  приму», — говорил  Иван   Карамазов. И   ему   же   принадлежат    слова   о «малосильном    и  маленьком, как   атом,  человеческом     эвклидовом    уме»,     об    уме,   «созданном   с   понятием      лишь   о   трех      измерениях». Да,    нам  кажется,  что   луч   света    пронизывает   Вселенную   по    прямой,   но   ведь   и    крот,     сколько    бы   он    ни  рыл   свою   нору,   будет   уверен, что Земля — плоская. Массивные   тела притягивают   к   себе    все   сущее — и   свет  в  том числе, раз  он  состоит   из материальных частиц — фотонов. («Не действуют ли тела на  свет на расстоянии  и не  изгибают   ли этим   действием его лучей?» —  высказывал   гениальную   догадку   гениальный Ньютон.) Но   если  вблизи   тел   большой   массы    искривляется    абсолютно     все —   даже     свет,    то    это значит,  что   искривляется     само    пространство. И   тут  полная  аналогия   с Плосколяндией,     расположенной    на      поверхности     большого    шара,     которая  тоже    искривляется    в    пространстве,  но   высшем,   чем    то,  что могут    осознать      плоские      двумерцы.       «...когда    слепой  жук   ползет    по   поверхности шара,   он не   замечает, что  пройденный   им   путь   изогнут, мне  же   посчастливилось   заметить   это». — так   объяснил     Эйнштейн    своему     девятилетнему    сыну, чем же он, собственно, прославился в науке.
Плоские   двумерцы,   живущие   на сфере, смогли бы обнаружить,  что их вселенная  искривлена, если  бы  стали , например, строить  заборы вокруг какого-нибудь  своего  сверхсекретного объекта — одни за  другим,  каждый больше предыдущего. В   один   прекрасный    момент   они бы   вдруг с удивлением    убедились,  что   на новые  заборы   идет    все    меньше  материала. Какой-нибудь    гениальный    плоскатик     сообразил  бы, что  строители    перешли    за  экватор   сферы .
Нам,    трехмерцам,    пришлось   бы    строить   гигантские   сферы   вокруг   Земли — одну   больше   другой.
Теория   относительности — это   открытие   не   физика, не   астронома,  а математика. Академик С. Л. Соболев говорил:
«В середине   XIX   века   Лобачевский   построил    свою   «воображаемую геометрию»,   а  затем   Риман  развил   его идею   и  создал  математическую   теорию   пространства,   обладающего    переменной   внутренней   кривизной,   то  есть    имеющего    различную     кривизну   в  различных точках. Из этих   исследований    возник  великолепный   математический    аппарат — тензорный   анализ. Благодаря   ему   из  трудов  Пуанкаре и Эйнштейна    родилась   теория   относительности...»
«Вселенная, изображаемая теорией   относительности   Эйнштейна, подобна    раздувающемуся  мыльному  пузырю. Она — не   его    внутренность,   а пленка. Поверхность  пузыря     двухмерна,   а  пузырь    вселенной    имеет    четыре   измерения:   три   пространственных   и одно — временное.» Так писал видный английский  физик   Джеймс   Джине.
Но Эйнштейн был и  великим математиком. Его формулы позволяют вычислить радиус  этой  Вселенной. Поскольку  кривизна ее зависит от массы тел, которые  ее  составляют,  то надо  знать  среднюю плотность материи. Астрономы   в течение    многих   лет    изучали   одни и   те   же маленькие участки неба и скрупулезно   подсчитывали   количество   материи  в  них. Оказалось,   что   плотность   равна приблизительно 10-30 г/см3. Если  подставить  эту  цифру в  формулы  Эйнштейна,  то,  во-первых,   получится   положительная   величина  кривизны — то  есть  Вселенная   замкнута! — а   во-вторых,  радиус  ее равен 35 миллиардам   световых лет.   Это    значит,   что   хотя    Вселенная и  конечна,  но она огромна — луч   света, двигаясь по Большому   Космическому  кругу,  вернется   в  ту   же    точку    через    200  миллиардов    земных лет! В нашей     гигантской    гиперсфере    хватает   места   для   миллиардов   галактик.
|Читать

  входа  в Музей истории и техники  в  Вашингтоне  медленно  вращается  на пьедестале  стальная лента, закрученная  на  полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся Международный математический конгресс, его устроители  выпустили  памятную марку достоинством в пять сентаво. На  ней была  изображена все та же лента. И  монумент  высотой более чем в два метра, и крохотная марка — своеобразные  памятники  немецкому математику и астроному, профессору Лейпцигского университета Августу Фердинанду Мебиусу,  умершему  сто лет назад.
Во втором томе своих «Трудов»,   вышедшем в   1858 году, он   описал   геометрическую  поверхность,  обладающую  совершенно  невероятным свойством: она имеет только одну сторону! Самое  же  при этом удивительное,  пожалуй,  то, что  сделать  ее своими   руками  не  представляет  решительно никакого труда: надо лишь взять полоску  бумаги и склеить  ее концы,  предварительно повернув один из них на 180 градусов. И тогда.... И тут  окажется,  что, пропуская  ее    между    пальцами    и ни    разу не   выворачивая   кольцо "наизнанку»,  можно    прочесть  текст,  написанный  на  обеих  сторонах  листа  Мебиуса, — потому   что  именно  его вы   только  что  сделали  своими  руками.
Как видите, у вашей самоделки  действительно   всего одна сторона. Но   вот случай  в этом   убедиться  еще   нагляднее: попробуйте   закрасить   перекрученную   ленту  в два  цвета — один с внешней, а  другой — с внутренней стороны. Что  бы  вы не  придумывали,  вам  это не удастся.
Итак, односторонность. В геометрическом,  разумеется, понимании этого слова.  потому что в  нашем, общечеловеческом смысле  трудно представить себе более  разностороннюю  фигуру. Теперь, после знакомства с нею, наверное, уже никакая сила не удержит вас от того, чтобы не клеить все новые и  новые ленты,  закручивая их  то на  один,  то    на   два, а то  и на три   полуоборота и   потом   беспощадно  разрезать вдоль. И вы будете вознаграждены за свою любознательность .
Патентные  службы  вынуждены   были   познакомиться  с  поразительными свойствами листа Мебиуса — в разное время и в разных   странах зарегистрировано    немало  изобретений,   в основе   которых лежит все   та же  односторонняя поверхность. В 1923 году Ли де Форест. знаменитый американский   изобретатель,   придумавший   трехэлектродную   лампу — триод, предложил  записывать   звук  на киноленте   без   перемены  катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632. Изобрели   магнитофон — и  сразу же нашлись  сообразительные   люди, которые   придумали особые кассеты, где  магнитная лента  соединяется  в кольцо и  перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания  увеличивается ровно  вдвое. В  1969  году  советский изобретатель А. Губайдуллин  получил   авторское   свидетельство  № 236278  на  бесконечную     шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он  предложил  натянуть   сделанную  из специального  материала ленту Мебиуса  на  два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно,  что такая  лента служит  вдвое  дольше  обычной.
В 1963 году патентное ведомство США зрегистрировало  целых   два «практически-геометрических»   изобретения. Некто Джакобс  поставил свои   знания   топологии  на службу химчистке — он  придумал   самоочищающийся     фильтр,   который   представляет  собой  все ту же ленту  Мебиуса  и беспрерывно освобождается   от   впитанной грязи, «работая» при  этом обеими    своими сторонами. А  Ричард  Дэвис,  физик  из американской  корпорации Сандиа» в Альбукерке  изобрел  электрическое  сопротивление, обладающее  нулевой  реактивностью. О нем,  пожалуй,  стоит  поговорить  поподробнее — и потому, что  такое  сопротивление — давнишняя  мечта  радиотехников и  физиков, и потому  еще, что тут  нам  предоставляется возможность увидеть нашу  одностороннюю   ленту  Мебиуса  с  несколько  иной  стороны.
Но  сначала  склейте еще  один лист Мебиуса  и  разрежьте   его   ножницами,   но  на этот  раз не  на  две, а  на  три части,  то  есть  не по середине, а  отступив от  любого из    краев на  треть ширины  ленты. Вас снова ждет  сюрприз: теперь  получается  еще  один  лист Мебиуса  поменьше, да и толщиной  всего в 1/3  от первоначального,  а  в  него   продета  длинная  и тонкая  лента,   дважды  перекрученная   вдоль   своей  оси. А  теперь  сделайте  себе  из  всего этого  геометрического    изобилия    прекрасную   игрушку на  вечер-другой.  Это,  как и все  предыдущее,  просто. Покрасьте  «маленького  мебиуса»  в  какой-нибудь  цвет. И пытайтесь    уложить   с    обеих   сторон   от   него  тонкую  ленту так,   чтобы    получился   лист  Мебиуса  тройной   толщины  (см рис. 1).
Рано или   оздно вы  справитесь с  задачей, и  наградой   вам будет  удивительная фигура.  Две  ее   крайние,   незакрашенные   части,  хотя  они и сделаны  из  одной   длинной  ленты, тем не  менее   нигде  не смыкаются  друг  с другом, а   просто  лежат   вдоль  сторон    третьей,  закрашенной части. Но каких сторон? Ведь  центральная часть — это  односторонняя   поверхность! Да  и  крайние,  раз  они  повторяют   ее    форму,  тоже  не    что  иное,  как  два  листа  Мебиуса,   которые   обрели      самостоятельность,    обвившись    вокруг    своего   цветного собрата.
Вот  это  и  есть  сопротивление  с нулевой  реактивностью.  Но  только  изготовляют   его — для  простоты  технологии — немного  по-другому: к резиновой  ленте  с двух сторон  приклеивают  две тонкие     алюминиевые  полоски,  а к  ним  припаивают  выводы, через которые можно подать электрический ток. Затем  всю    конструкцию  перекручивают  на  один    оборот  и  соединяют в  Мебиусов  лист — он,  естественно,    будет трехслойным. И  вот  теперь  ток,  проходя   по полоскам,   встретит   на  своем  пути  лишь  так   называемое  «активное»  сопротивление,  то есть сопротивление самого  материала — алюминия. «Реактивность»  проводника  с током,  имеющего форму листа  Мебиуса,  равна нулю.
Понять это не так уж невозможно. Есть  простой, но  в данном  случае  неприятный для радиотехников факт: каждое   тело имеет форму и как-то располагается в  пространстве. А потому  оно  ведет себя либо как маленький конденсатор — обладает  собственной  электрической  емкостью и, значит, оказывает   переменному  току  емкостное  сопротивление,  либо  ведет себя  подобно  крохотному дросселю— тогда его   сопротивление индуктивное. Оба этих  сопротивления,   оказываемых  телом  электрическому  току, называются     «реактивными'». И  избавиться  от  них,  как  и от   того, что у  него  есть  какая-то   форма,   ни    одно    тело — и   это   очевидно! —   не может.
А теперь   вспомним   факт, в  котором  нам  только  что  пришлось   убедиться: «трижды   толстый  мебиус»  можно   сделать по-разному: и из трех отдельных  частей  и  всего из  двух — короткой   центральной   и  особым  образом   уложенной   длинной   заготовки,    которая  одна  образует   обе    боковые стороны. Значит,  ток  в    безреактивиом    сопротивлении     дважды   проходит  по одному и  тому же  месту в пространстве, но  оба раза в противоположных   направлениях—пробегая    по  длинной  ленте   (она складывается из двух алюминиевых полосок),  уложенной    «восьмеркой»   с двух   сторон  короткой (то есть резинового изолятора). Таким   образом   реактивность  реактивностью   же  и   уничтожается! И потому  такое  закрученное  сопротивление  остается   чисто   активным,   даже   если   изгибать   его   как   угодно  или,    например,   помещать   в  любые внешние поля.
Конечно, радиотехники должны быть  особенно благодарны  Августу Фердинанду  Мебиусу — ведь им приходится   иметь  дело  с миллионами герц, а чем выше  частота,  тем больше «реактивность» каждого элемента схемы и тем больше  помех  вносят в  ее  работу  нынешние «нечисто активные» сопротивления. Но, пожалуй, с еще большим   энтузиазмом   встретят  новое  изобретение физики, которые занимаются сверхпроводимостью. Как известно, при очень НИЗКИХ температурах,  близких к  абсолютному  нулю,  сопротивление  электрическому току   вдруг  пропадает, и он может течь  неограниченно  долго, не требуя никакого притока  энергии  извне. Да,  но  речь  идет  об  активном сопротивлении. Реактивное     же   сопротивление    сверхнизкой   температурой   и всей  невероятно   сложной    техникой, созданной  для ее получения,  не уничтожается. Зато  простейшее   геометрическое  преобразование   обещает  физикам скорую и  неожиданную помощь. Ну   как тут не подумать, что мечта о  вечном   электрическом   двигателе,  не   требующем   никакой   подпитки  энергией  для своей работы,  теперь   уже   близка  к своему  осуществлению?..
До сих пор речь шла всего об одном свойстве листа Мебиуса — о его односторонности. А ведь у него есть еще и другие подобные свойства. Но какие «подобные»?   Математик   назвал  бы  их «топологическими».
Сама  топология, можно сказать, началась именно с листа Мебиуса. Слово  это  придумал  Иоганн  Бенедикт  Листинг, профессор Геттингенского  университета, который — и  это мало кому известно — почти в   то  же  время,   что  и  его   лейпцигский   коллега,  предложил в  качестве  первого   примера   односторонней    поверхности  все  ту  же  уже   знакомую   нам   единожды   перекрученную  ленту.
Наука эта  молодая  и потому — озорная. Иначе  не скажешь о тех  правилах игры, которые в ней приняты. Любую   фигуру  тополог  имеет  право   сгибать, скручивать,  сжимать  и растягивать — делать с ней что угодно, только не разрывать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло — все ее свойства остались  неизменными.  Для него не имеют никакого значения ни расстояния,  ни углы, ни  площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не изменяются  ни при каких преобразованиях,  если только не   случается катастрофы — «взрыва»   фигуры. Потому  иногда  топологию   называют  «геометрией непрерывности». Она  известна  и под именем  «резиновая   геометрия»,  потому  что топологу  ничего не стоит поместить   все свои   фигуры   на   поверхность   детского   надувного  шарика и  без конца  менять его форму, следя  лишь  за тем,  чтобы  шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии — например,  стороны  треугольника — превратятся  в  кривые,  для  тополога  глубоко  безразлично.
Но  зато он ищет во всех окружающих  его предметах  некие  важные только ему одному  качества.. Например, непрерывность. Это еще одно топологическое свойство. Если  вы  сравните схему  самолетных  маршрутов и  географическую  карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан — скажем Свердловск  может  оказаться   на  полпути от Москвы  до Владивостока.  И  все-таки есть что-то общее между географической картой и топологической   схемой (а транспортники - бессознательные топологи): Москва  действительно  связана  со  Свердловском, а Свердловск — с Владивостоком. И потому тополог может  как  угодно  деформировать  карту,  лини, бы точки, ранее бывшие соседями, всегда   оставались одна  подле  другой. А значит, с   топологической  точки  зрения, круг  не  отличим от  квадрата или треугольника — потому что их легко преобразовать   один   в   другой, не нарушая непрерывности.  Взгляните  с  этой  точки зрения  на нашего  старого знакомца  и увидите: на листе  Мебиуса любую точку  можно соединить с любой другой.Разрывов нет — непрерывность   полная.
Но куда интереснее другое  свойство — связность. Если   квадрат  полоснуть  бритвой  от стороны  к стороне, то  он, естественно, распадется на два отдельных куска. Точно так  же любой удар ножом разделит   яблоко  на  две  части. Но  вот  чтобы   располовинить   кольцо,  нужно  уже  два  разреза. И два раза  придется  резать   бублик, если  вы хотите  угостить  им  двух  друзей. А  телефонный диск  можно  десять  раз рассечь ножом от одного «края» к другому, то  есть от  одной  замкнутой кривой до другой, а  он все  останется  единым  целым. Поэтому    любой  тополог   скажет  вам, что  квадрат,  яблоко или   ромашка — односвязны,   кольцо  или  бублик — двусвязны,  оправы  oт очков — трехсвязны,    а всяческие решетки. диски  с  отверстиями  и  подобные  сложные  фигуры — многосвязны  (см. рис. 2)., Ну, а  наш лист Мебиуса? Конечно, двусвязен –ведь  фокус  в том и состоял, что, будучи  разрезан  вдоль,  он превращался  не  в два  отдельных кольца, а  в  одну  целую  ленту.  Впрочем,—и  на этом  тоже были построены фокусы, — если перекрутить  ленту  два  оборота,  то  лист  становится  односвязным.  Три  оборота — помните  ленту; завязавшую  саму  себя в узел? — связность  снова   равна двум. А  четыре  оборота? Да  вы,  верно,  уже  догадались,  как  дальше   станут  развиваться  события.
Связность  принято  оценивать  числом  Бетти — был такой итальянский физик. Впрочем,   чаще  употребляется другой термин — Эйлерова   характеристика. Но оба они  значат одно и то же:  максимальное  число  сквозных разрезов — от  края и до края, которое  выдерживает  фигура,  оставаясь  при  этом  единым  целым.
«От края и до края»  — эти  слова  из песни  тоже несут в  себе  глубокий  топологический смысл. Лист  бумаги — модель  двусторонней  односвязной (число Бетти равно 1) поверхности  с одним  краем. Листок  можно  катать  в  шарик и бросить в урну, но  все  равно число  краев (и сторон) останется  прежним. Но  у  сферы  краев нет. Нет  их  и  у  тора, — говоря  попросту,  бублика. Зато  нарисованное  на бумаге  кольцо  имеет  целых  два края. Два края и  у  Мебиусона   листа,  хотя  сторона у  него  всего   одна (см. рис. 3). И  снова — сделайте  его  из  какой  угодно   эластичной   резины и  растяните  до  любых  размеров — топологические  свойства,  этот  незыблемый фундамент   самого   естества    геометрической   фигуры,   останутся   неизменными.
Не  много ли  неожиданных и странных свойств?  Тогда  еще  только два,  быть может, самых любопытных..
Первое — ориентированность. Конечно,  можно  было бы подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»— это  то, чего нет у листа Мебиуса! Вообразите,  что  в  нем заключен  целый  плоский  мир,  где  есть  только  два  измерения, а  его обитатели — несимметричные  рожицы,  не  имеющие, как и сам.  лист,  никакой  толщины. Если  эти  несчастные  создания  пропутешествуют  по всем изгибам листа Мебиуса и вернутся в родные пенаты, то с изумлением обнаружат, что  превратились в  свое собственное зеркальное отображение (см. рис. 3). Конечно,  все это  случится  только, если  они живут в листе, а не на нем. Впрочем,  это  удивительное  явление  можно наблюдать  и на  действующей  модели  «плоского мира Мебиуса» — для  этого  надо  сделать  ленту из любого прозрачного  материала. .
И   наконец   то,  что  носит   название   «хроматический номер». Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них  имела  общую  границу со  всеми другими. Если  каждую  область выкрасить по-разному, то  любой цвет должен соседствовать  со всеми остальными. Так вот, на листке  бумаги,  даже если его  склеить  в кольцо, еще никому не  удалось расположить  пять цветных пятен.  которые  бы все имели общую границу. И на сфере, и на цилиндре  их  может  быть  не более  четырех. Это  и  значит, что  хроматический  номер этих поверхностей — 4. А  на бублике число соседствующих  цветов  равняется 7. Каков  же  хроматический  номер листа  Мебиуса?   Он,  как это ни  поразительно,  равен 6!
Конечно же,  такое  не укладывается  в голове.   Ну,  и самом   деле, не довольно  ли   этих мебиусовских   мистификаций? Видите ли, на ленте,   склеенной   как  положено, размещается   всего  четыре  цвета, а  стоит   соединить  ее  концы    шиворот-навыворот - - и   непонятно    как   находится   место   еще   для   двух  цветов!
Но  клин  выбивают  клином,  одну  головоломку—другой. Есть  древняя  неразрешимая  задача. Надо  соединить  три дома  с тремя  колодцами, но так,  чтобы жители каждого из домов могли  ходить по воду в  любой  колодец  и  при этом  пути  их  нигде  не пересекались. Сделать  это  не  умудрился никто, но лишь сравнительно недавно  математики  строго доказали,  что задача  неразрешима. Но  взгляните на  рис. 4. Стоит  лишь склеить  эту полоску  бумаги  так, чтобы  совпали  одинаковые буквы на ее краях,  проблема  водоснабжения   решается. Мало  того, теперь  можно  соединить между  собой  попарно  все  шесть точек, а ведь  на плоскости  могут «обменяться  рукопожатиями»  только четыре  точки.  Разумеется,  вы  снова  получите  вcё  тот  же лист Мебиуса. А теперь   раскрасьте  карту  путей  водовозов — и  вот  вам  шесть цветов,  живущих в  дружном соседстве. Но.  конечно,  как и  раньше,  надо  предполагать,  что  все  события  происходят  не на листе,  а  внутри  него. Иными словами,  краски  должны  проникать  сквозь  бумагу,  как  чернила  сквозь  промокашку.
И  напоследок  возьмите еще раз в руки лист Мебиуса — одностороннюю неориентированную поверхность с одним краем, числом Бетти (оно же — Эйлерова характеристика), равным 2, и  хроматическим номером, равным 6.  Этот  листок бумаги  открыл математикам  мир новых возможностей, а вам  доставил несколько  приятных   минут.  Но  не спешите  с  благодарностью  прощаться  с  ним.
Он нам еще встретится в космических далях Вселенной.

|Читать

Все больше людей в мире, уже не только футурологи и «зеленые», но и бизнесмены с политиками, склоняются к тому, что будущее земной энергетики и транспорта --- в замене углеводородных топлив водородом.
Запасы этого элемента в воде Мирового океана практически неисчерпаемы, а основа энергетического цикла экологически чиста. Ведь электроэнергия получается без горения --непосредственно из химического соединения водорода с кислородом.
На выходе из «трубы» --- обычный пар. При одном и том же объеме «бака» на водороде можно уехать вдвое дальше, чем на нефтепродуктах, правда, и его получение обходится пока вдвое дороже нефти. Вопреки остающейся технико-экономической «нерешёнке», электротранспорт на водородных топливных элементах превращается на наших глазах из выставочной экзотики в самые настоящие деловые будни.
К сожалению --- не у нас.
Правительство   Японии объявило, что планирует закупить большую партию «водородомобилей»   для   общественного транспорта   в начале 2003 г. Аналогичные планы на ближайшее будущее вынашивают   многие   европейские страны.
Процесс пошёл еще в 1992-м, когда   канадская   компания   «Баллард
Пауэр системс»    продемонстрировал  автобус на водороде с мощностью двигателя 150 КВТ --- в 15 раз  больше, чем,   как    считалось, могут  выдать подобные движки. После этого с канадцами   начал   сотрудничать   автомобильный  монстр «Даймлер-Бенц», и родилась идея об испытательном   полигоне   водородного проекта в. .. Исландии.
Выбор неслучаен. Исландский    профессор-химик     Браги  Арнасон  уже  давно пропагандирует   свою   страну   как «катализатор» глобальной «водородной революции», называя остров будущим «Кувейтом     Севера». Основания --- гигантские запасы геотермальной   энергии   земных недр и гидроэнергии бурных рек для первичного получения водорода. А кроме   того, --- удобная компактность территории и относительная    дешевизна   рабочей силы   при достаточной ее квалификации. Исследовав   исландский    проект, «Даймлер-Крайслер»,    «Шелл» и еще несколько мировых   фирм   отнюдь не сочли  его  «Нью-васюками». К ним  приcоединился   ЕС.
В  результате    уже   сегодня   в Исландию   хлынули   инвестиции, общий предстоящий объем   которых   оценивается в  сотни миллионов евро.
Речь   идет   о первом    крупномасштабном    эксперименте по созданию чисто водородной    экономики,    полностью   исключающей   использование ископаемых топлив. В ближайшие   месяцы   на  северном острове начнется массовое «автобусно-водородное»   сообщение  ,   будет   построена    первая заправка, производящая водород на месте. Если все пойдёт, как задумано, то к 2005 г. на водороде будут работать уже и легковые   автомобили,   и рыболовные суда.
В течение 30 --- 40 ле   весь   исландский  транспорт   полностью перейдёт на водородное довольствие. Параллельные   проекты    под эгидой ЕС  стартуют  в Великобритании, Германии , Испании  и еще   как  минимум   четырех   других европейских странах.
А исландцы, войдя во вкус, тем   временем   уже мечтают о создании целой водородной промышленности,    экспортирующей    водород по трубопроводам на континент.
Батюшки, а как же   наш   бюджетообразующий   Газпром? А где же мы в этом водородном будущем?
Идей-то и у нас выше крыши. Вот,  скажем,  пару лет назад «Автоваз» блеснул передовым мышлением, прокатив по выставкам свое детище --- «Ниву» с длинной базой и электродвижком   н  а водородных элементах. Длинная база, собственно, и была нужна для того, чтобы запихнуть туда эти самые топливные элементы, снятые по дружбе с. .. космического   корабля   «Буран». Именно они --- специально разработанные для челнока --- вырабатывали в его единственном полете электричество. А теперь, когда «Буран» стал аттракционом, почему бы ему не поделиться    деталюшкой с наземным собратом по профессии?
Говорят, Россия --- это ныне почти
Европа. Ну да, с той лишь разницей, что они действительно строят будущее, а мы пока играем   в строительные кубики. n
Андрей САМОХИН
|Читать